CLASIFICACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

                Para estudiar las funciones es mejor clasificarlas dependiendo de sus características.

Funciones expresadas en forma explícita

Si es posible resolver una ecuación para y en términos de x, esto se escribe y = f(x) y se dice que la función está dada explícitamente; es decir, la variable dependiente está despejada.

Ejemplos: 

f(x) = -6x+8

Funciones expresadas en forma implícita

Cuando la regla de correspondencia que define a la función f está dada por una ecuación en x y y, de la forma f(x, y) = 0. Esto significa que la variable dependiente no está despejada.

Ejemplos: 

x² + y² = 0

Funciones algebraicas

Son aquellas que se pueden obtener con las operaciones básicas de suma , resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ejemplos:

Funciones trascendentes

Son las funciones que involucran las razones trigonométricas, trigonométricas inversas, así como las logarítmicas y las exponenciales.

Ejemplos: y = 4sen(2x); y = -log₁₀x; y = e ^x-1 + cos(x²)

A continuación se presenta un cuadro sinóptico, describiendo con ejemplos las últimas funciones antes mencionadas.

Funciones Continuas

Una función es continua cuando su gráfica no presenta ningún punto aislado, saltos o interrupciones.

Funciones Discontinuas

Una función es discontinua si su gráfica presenta al menos un punto aislado, saltos o interrupciones.

Funciones Escalonadas

Existen funciones que se definen a través de intervalos cuyo dominio es (-∞, ∞), sin embargo no son continuas

Por Ejemplo:

Funciones Crecientes

Una función f es creciente sobre un intervalo, si para cualquier valor x₁ y x₂, donde x₁<x₂, se tiene que f(x₁)<f(x₂), es decir, los valores de la función se incrementan.

Funciones Decrecientes

Una función f es decreciente sobre un intervalo si, para cualquier valor  x₁  y  x₂, donde x₁<x₂,  se tiene que f(x₁)>f(x₂), es decir, los valores de la función disminuyen.

Actividad

Elabora la gráfica de las siguientes funciones y establece cuales son funciones continuas y discontinuas.

1. h(x) = x+5
2. w(x) = {(8, -2), (9, -2.5), (10, -3), (11, -3.5), (12, -4)}
3. 

Clasifica cada una de las siguientes funciones en algebraicas o trascendentes.

a)      y = sen x²­­­­­­            _________________

b)      y = ¼ x² – ½        _________________

c)       y = e^2x + 1            _________________

d)      y = √(x+6)          _________________

e)      y = 3(5)^x                      _________________

f)       y = log₇ x             _________________

Traza la gráfica de las siguientes funciones y determina en que intervalos son crecientes y en cuales decrecientes.

a)      y = sen x

b)      y = 2^x

c)       y = 3x⁴ – 4x³ – x² + 5x

Funciones inyectivas

También conocidas como funciones uno a uno, son las que relacionan a los elementos del dominio con uno y solamente un elemento del codominio, es decir, para diferentes puntos del dominio sus imágenes serán diferentes. Formalmente tenemos:

Si x₁≠ x₂ entonces f(x₁) ≠ f(x₂)

Ejemplo:

Para saber si la ecuación de f(x) = x³ es una función inyectiva, iniciamos analizando como se comporta ésta.

Como dos números diferentes no pueden tener el mismo resultado cuando se elevan al cubo, se pueden tener flechas únicas en el diagrama sagital y, por lo tanto, podemos concluir que es una función inyectiva.

La gráfica de la función también nos puede ayudar a indicar si es una función es inyectiva.

Esto lo podemos hacer utilizando la prueba de la recta horizontal, sobre la gráfica trazaremos una recta horizontal. Si ésta toca en un solo punto a la gráfica, se concluye que la función es inyectiva.

Otro ejemplo. Al graficar la función f(x)=x² y aplicarle la prueba de la recta horizontal podemos concluir que ésta función no es inyectiva. Algebraicamente tenemos que:

f(2) = (2)² = 4, pero también f(-2) = (-2)² = 4.

Como f(2) = f(-2), la función f(x) = x² no es inyectiva.

Dominio: (-∞, ∞) y codominio: [0, ∞)

En general, todas las funciones se pueden hacer inyectivas, para esto es necesario delimitar el dominio de la función.

Por ejemplo, en la función f(x) = x² ya habíamos establecido que ésta no es inyectiva, pero en caso de ser necesario podríamos considerar una sola parte de su gráfica, es decir, acortaremos su dominio a [0, ∞) (la parte derecha de la gráfica), o bien (-∞, 0] (la parte izquierda).

Con el dominio así establecido podemos decir que la función f(x) = x² es una función inyectiva.

Funciones Suprayectivas

Una función es suprayectiva (también llamada sobreyectiva) si y sólo si cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio, o sea que todos los elementos de C están asociados con por lo menos uno de D. Formalmente se tiene:Si f: D es una función suprayectiva, entonces C = f(x), para toda x ∈ D

Ejemplos:

1.       Si se tiene que f(x)= 2x²+ 1 con dominio en el intervalo [-3, 3], entonces a partir de su tabla determinar si esta función es suprayectiva.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	19	9	3	1	3	9	19

Dominio: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]

Codominio: {1, 3, 9, 19}

Imagen: {1, 3, 9, 19}

Todos los elementos del codominio están asociados con al menos uno del dominio, por lo tanto, la función es suprayectiva.

2.       A partir del siguiente diagrama sagital, determinar si esta función es suprayectiva.

Codominio: {1, 3, 9, 19}

Imagen: {3, 9, 19}

Es importante observar que los elementos que pertenecen al codominio no son los mismos que tenemos para la imagen, esto nos indica que la función no es suprayectiva.

Tomando de nuevo la función x², vemos que ésta no es suprayectiva debido a que al ser una función real, el codominio es D = R, mientras que la imagen es sólo R⁺∪ {0}. Sin embargo, al igual que con las funciones inyectivas, podemos hacer modificaciones para volver una función no suprayectiva en una que si lo sea. En este caso especifico, basta encoger el contradominio como R⁺∪ {0} y la función x² se convierte en suprayectiva.

Función Biyectiva

Cuando una función es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva se le conoce como función biyectiva.

Ejemplo: Si una función f(x) = 4x, con 1≤x≤5

x	1	2	3	4	5
y	4	8	12	16	20

Dominio: {1, 2, 3, 4, 5}

Codominio: {4, 8, 12, 16, 20}

Imagen: {4, 8, 12, 16, 20}

Esta función es uno a uno y su codominio es el mismo que su imagen, es decir, que cumple las características de una función inyectiva y suprayectiva; por lo tanto, al cumplirse estas dos características sobre la función, decimos que ésta es biyectiva.

Determina cuales de los siguientes diagramas representa una función inyectiva, suprayectiva o biyectiva.

Descargar doc